SAT model seçimi: doğrusal mı, üstel mi, kuadratik mi?

Digital SAT Math'teki iki değişkenli veri sorularının bir bölümü tek bir karar ister: veriyi en iyi hangi model açıklar? Bu soru tipinde karşılaşılan üç model ailesi doğrusal (y = mx + b), üstel (y = a·b^x) ve kuadratik, yani ikinci dereceden (y = ax² + bx + c) modellerdir. Veri bir scatterplot (saçılım grafiği), bir tablo ya da tek cümlelik bir bağlam olarak gelebilir.

Bu sayfa yalnızca bu kararı anlatıyor: tabloda fark ve oran testi, grafikte eğrinin şekli, soru metnindeki ipuçları ve artık grafiğinin kalıbı. Eksen okuma, soru türleri ve tempo için iki değişkenli veri rehberine, seçilen doğrusal modelle tahmin ve artık hesabı için en iyi uyum doğrusu sayfasına bakabilirsiniz.

Üç model ailesi ve ayırt edici işaretleri

Scatterplot'ta dağılımın biçimi, hangi modelin kullanılacağına dair ilk sinyali verir. Noktalar düz bir çizgi etrafında toplanıyorsa doğrusal model; U ya da ters U biçimindeyse, yani grafikte bir tepe ya da çukur varsa kuadratik model öne çıkar. Tek yönde giderek hızlanarak yükselen ya da hızla düşüp yataya yaklaşan (hiç geri dönmeyen) bir eğri üstel modele işaret edebilir, ama parabolün tek kolu da böyle görünür. Gözle verilen bu ilk karar tablo testiyle, doğrusal modelin yetip yetmediği ise artık grafiğiyle doğrulanır.

Şekil sütunu tek başına yeterli değildir: tepe ya da çukur görünmüyorsa üstel eğri ile parabolün bir kolu aynı görünebilir, kararı son sütundaki test verir. Eşit aralıklı x değerleri için üstel modelde y oranları sabittir (y₂/y₁ = y₃/y₂), kuadratik modelde ise ikinci farklar sabittir. Kuadratik modelin simetri ekseni her zaman dikeydir; yana yatık bir parabol y'yi x'in fonksiyonu olarak vermediği için bu sorularda model seçeneği olmaz.

Tablo verilmişse: fark ve oran testi

x değerleri eşit aralıklarla artıyorsa üç basit hesap modeli belirler:

• Ardışık farklar sabitse model doğrusaldır.
• Ardışık oranlar sabitse (her y değerini bir öncekine bölün) model üsteldir.
• Farklar değişiyor ama farkların farkı sabitse model kuadratiktir.

Farklar sabit ama oranlar değişiyorsa doğrusal, farklar değişiyor ama oranlar sabitse üstel, ikinci farklar sabitse kuadratik.

x aralıkları eşit değilse doğrusal testi birim başına değişimle (Δy/Δx) yapın: her aralıkta aynı çıkıyorsa model doğrusaldır. Üstel testi de adım uzunluğuna göre yapın: k birimlik bir adımda oran b^k olmalıdır; ya da yalnızca eşit aralıklı değer çiftlerini karşılaştırın. Örneğin x = 0, 1, 3 için y = 100, 200, 800 değerlerinde oranlar 2 ve 4'tür; ilk bakışta sabit değildir, ama 1 birimlik adımda 2, 2 birimlik adımda 4 = 2² çıktığı için model üsteldir: y = 100·2^x. İkinci fark testi ise yalnızca eşit aralıklı x değerleriyle yapılabilir.

İkinci fark testinin bir anlamı olması için en az dört değer gerekir. Üç değer yalnızca bir ikinci fark verir ve bu tek sayı her zaman "sabit" görünür; üç noktadan her zaman y = ax² + bx + c biçiminde bir eğri geçer. Örneğin x = 0, 1, 2 için y = 100, 200, 400 değerlerinde oranlar 2 ve 2'dir, ama y = 50x² + 50x + 100 de bu üç noktadan geçer. Üç değer varsa fark ve oran testine, bir de bağlama bakın.

Gerçek ölçümlerde farklar ve oranlar yalnızca yaklaşık sabittir; hangisinin sabite en yakın olduğuna bakın. Örneğin eşit aralıklı x için 100, 205, 395, 810 değerlerinde oranlar 2,05; 1,93 ve 2,05, yani hep 2 dolayındadır; ikinci farklar ise 85 ve 225'tir. Model üsteldir. Aşağıdaki üç örnek aynı testin üç farklı sonucunu gösteriyor.

Örnek 1 (kuadratik): Bir araba 0. saniyede 0 m, 1. saniyede 5 m, 2. saniyede 20 m, 3. saniyede 45 m yol alıyor. Hangi model uygundur? Farklar 5, 15, 25; sabit değil. Oranlar da sabit değil (20/5 = 4, 45/20 = 2,25), yani model üstel de değil. Farkların farkı ise 10 ve 10: sabit. Bu, ikinci dereceden bir modeldir: y = 5x². x adımı 1 iken ikinci fark 2a'ya eşittir; 2a = 10 olduğundan a = 5 bulunur.

Örnek 2 (üstel): Bir bakteri kolonisi her saat iki katına çıkıyor. Başlangıçta 100 bakteri varsa 6 saat sonra kaç bakteri olur? Değerler 100, 200, 400, 800 diye ilerler: farklar (100, 200, 400) büyüyor, oranlar (2, 2, 2) sabit. Model üsteldir: y = 100·2^x. x = 6 için y = 100·2⁶ = 100·64 = 6400. Dikkat: 6 saatte koloni 6 kez ikiye katlanır. 100 + 6·100 = 700 ya da 100·2·6 = 1200 sonucu, büyümeyi her saat aynı miktar eklenen doğrusal bir artış gibi düşünmekten gelir.

Örnek 3 (doğrusal): Bir şehirdeki sıcaklık 0. saatte 10°C, 3. saatte 16°C, 6. saatte 22°C, 9. saatte 28°C olarak ölçülüyor. Farklar 6, 6, 6; sabit. Oranlar (16/10 = 1,6 ve 22/16 = 1,375) sabit değil. Model doğrusaldır: y = 10 + 2x. Dikkat edilecek nokta x adımıdır: 3 saatte 6°C artıyorsa saat başına artış 2°C'dir, 6°C değil.

Üstel modelde b çarpanı ve yüzde dili

y = a·b^x modelinde a, x = 0'daki değerdir (başlangıç miktarı); b ise çarpandır: x bir adım arttığında y, b ile çarpılır. b'yi tablodan bulmak için sonraki y değerini öncekine bölün. Artan üstelde b 1'den büyük, azalan üstelde 1'den küçük çıkar.

• Yüzde artış: "Her yıl %7 artıyor", yani her yıl bir önceki değerin %7'si kadar artıyor ifadesi b = 1 + 7/100 = 1,07 demektir. Genel kural: b = 1 + (yüzde/100).
• Yüzde azalış: "Her yıl %20 azalıyor", yani her yıl bir önceki değerin %20'si kadar azalıyor ifadesi b = 1 − 20/100 = 0,80 demektir. Genel kural: b = 1 − (yüzde/100).
• b her zaman 2 değildir: b, 1'den farklı herhangi bir pozitif sayı olabilir (b > 0, b ≠ 1); 1,07; 1,15; 2,5 ya da 0,80 gibi değerler görülür. Çarpanı sorudan okumadan varsaymak yanlış cevaba götürür.

Grafik verilmişse: eğrinin şeklini okuma

Grafikte ilk soru, noktaların düz bir çizgi izleyip izlemediğidir. İzlemiyorsa ikinci soru, eğrinin grafikte görünen aralıkta bir tepe ya da çukur yapıp yapmadığıdır. Parabolik eğrilik (önce artıp sonra azalan ya da tam tersi) kuadratik modeli gösterir. Artarken dikleşen ya da azalırken düzleşen, geri dönmeyen bir eğri üstel olabilir, ama parabolün tek kolu da böyle görünür. Eğimin x boyunca nasıl değiştiğine bakmak bu ayrımı netleştirir:

• Eğim her yerde aynı: doğrusal model.
• Eğri yükselip bir tepe yapıyor ve iniyor (ters U) ya da inip bir çukur yapıyor ve yükseliyor (U): kuadratik model.
• Tepe ya da çukur yok; veri artıyor ve x büyüdükçe eğri dikleşiyor: üstel büyüme ya da kolları yukarı bakan bir parabolün sağ kolu. Şekil tek başına karar vermez; tablo testine ya da bağlama bakın.
• Tepe ya da çukur yok; veri azalıyor, eğri yataya yaklaşarak düzleşiyor ve hiç yükselmeye dönmüyor: azalan üstel ya da U'nun sol kolu. Burada da kararı tablo testi ya da bağlam verir.
• Veri artarken yavaşlayıp düzleşiyor ya da azalırken giderek dikleşiyor: bu eğri y = a·b^x (a > 0) biçiminde bir üstel model değildir; bu biçimdeki bir model artıyorsa hep dikleşir, azalıyorsa hep düzleşir. Böyle bir eğri ters U'nun bir koluna benzer; grafikte ya da bağlamda bir tepe noktası arayın.

Tablo yoksa grafikten eşit x adımlarında birkaç değer okuyun: y her adımda yaklaşık aynı sayıyla çarpılıyorsa üstel, artışlar her adımda yaklaşık aynı miktar büyüyorsa kuadratik. Şıklarda tek bir eğrisel aile varsa şekil yeterlidir.

Bu okumada üç yanılgı öne çıkar:

• Parabolün tek kolunu görüp doğrusal karar vermek. Bir kolun ortasındaki noktalar düz görünebilir. Grafiğin tamamına bakın; bir tepe noktası ya da U biçimi varsa ikinci dereceden aileye geçin.
• Her hızlanan artışı üstel saymak. Kolları yukarı bakan bir parabolün sağ kolu da hızlanarak yükselir: Örnek 1'deki araba verisi (0, 5, 20, 45) grafikte bir J çizer, ama kuadratiktir. Grafikte tepe ya da çukur görünmüyorsa şekil tek başına ayırt etmez; tablo testine bakın.
• Her yataya yaklaşan düşüşü üstel azalma saymak. Kolları yukarı bakan bir parabolün sol kolu da düşerken düzleşir. y = (x − 5)² için x = 0, 1, 2, 3, 4 değerleri 25, 16, 9, 4, 1'dir: farklar −9, −7, −5, −3, ikinci farklar hep 2; oranlar ise (0,64; yaklaşık 0,56; yaklaşık 0,44; 0,25) sabit değildir. Model kuadratiktir. Tablo verilmişse oran ve ikinci fark testi kararı verir.

Noktalar iki ayrı bölgede yoğunlaşmışsa, veri setinde iki farklı alt grup olabileceğini ve tek bir modelin tüm veriyi açıklamakta yetersiz kalabileceğini düşünün. Tablo verilen bir soruda noktaları Bluebook'taki yerleşik Desmos hesap makinesine girip çizdirmek de şekli görmeyi kolaylaştırır.

Soru metnindeki ipuçları ve model soru kökleri

Bağlam cümlesi de modeli ele verebilir. Sorunun ilk cümlesinde şu ifadeleri arayın:

Dikkat: "başlangıç değerinin %5'i kadar artıyor" ifadesinde her yıl eklenen miktar sabittir, model doğrusaldır. Başlangıçtaki 200'ün %5'i 10'dur; her yıl 10 eklenir ve model y = 200 + 10x olur. "Her yıl %5 artıyor" ise her yıl bir önceki değerin %5'i eklenir demektir; eklenen miktar büyür ve model y = 200·1,05^x olur.

Tek başına bir sözcük modeli belirlemez; belirleyen, değişimin her eşit adımda nasıl tekrarlandığıdır. "x iki katına çıktığında y de iki katına çıkar" ifadesi y = kx biçiminde doğrusal bir ilişkidir. "Nüfus 1990'dan 2020'ye iki katına çıktı" tek bir karşılaştırmadır ve doğrusal bir artışa da uyar. "Otoparkın maksimum kapasitesi 400 araç; her saat 25 araç giriyor" cümlesinde "maksimum" geçse de araç sayısı her saat aynı miktar arttığı için model doğrusaldır.

İngilizce soru metninde "constant rate of change" ya da "increasing by equal increments" doğrusal, "growing exponentially" ya da "decreases by a factor of 2 every year" üstel modeli gösterir. Tek başına "rate of change" ifadesi ipucu değildir: her modelin bir değişim hızı vardır, doğrusalı gösteren o hızın sabit olmasıdır.

Model seçimi soruları örneğin şöyle sorulabilir (örnek kökler):

• "Which type of model best fits the data?"
• "Which function best describes the relationship between the variables?"
• "Which of the following statements, if true, would best indicate that a linear model is NOT appropriate for these data?"

İlk iki kökte şıklar model aileleri ya da denklemlerdir: önce aileyi seçip diğer ailelerden gelen şıkları eleyin, sonra kalan denklemin parametrelerini (başlangıç değeri, eğim ya da çarpan) veriyle kontrol edin. Üçüncü kökte aranan ifade, verinin doğrusal olmadığını gösteren ifadedir: artıkların x boyunca eğrisel bir kalıp izlemesi, scatterplot'ın kavis çizmesi ya da eşit aralıklı x için ardışık farkların sabit olmaması gibi.

Artık grafiği: doğrusal model yetiyor mu?

Artık (residual), bir noktanın gerçek y değeri ile modelin tahmin ettiği y değeri arasındaki farktır: artık = gerçek y − tahmin edilen y. Nokta doğrunun üstündeyse artık pozitif, altındaysa negatiftir. Tek bir noktanın artığını hesaplamak en iyi uyum doğrusu sayfasının konusu; model seçiminde önemli olan, bütün artıkların birlikte oluşturduğu kalıptır. Artık grafiği bu kalıbı gösterir: yatay eksende x, dikey eksende her noktanın artığı vardır.

Örnek: Örnek 1'deki araba verisine, yani (0, 0), (1, 5), (2, 20) ve (3, 45) noktalarına en küçük kareler doğrusu uydurulursa ŷ = 15x − 5 elde edilir. Doğrunun tahminleri −5, 10, 25 ve 40'tır; artıklar 0 − (−5) = 5, 5 − 10 = −5, 20 − 25 = −5 ve 45 − 40 = 5 olur. Sıra + − − +: uçlarda noktalar doğrunun üstünde, ortada altında. Bu U biçimli kalıp doğrusal modelin yetmediğini söyler.

Aynı hesap Örnek 2'deki bakteri verisi (100, 200, 400, 800) için yapılırsa doğru ŷ = 230x + 30 olur ve artıklar 70, −60, −90, 80 çıkar; kalıp yine + − − +. Demek ki eğrisel artık kalıbı "doğrusal model yetmez" der, ama hangi eğrinin gerektiğini söylemez. Araba ve bakteri verisinin ikisi de grafikte J biçimindedir ve ikisinde de tepe ya da çukur görünmez; onları tablo testi ayırır: arabada ikinci fark 10 sabittir, bakteride oran 2 sabittir.

Artık grafiği verilmemişse aynı kontrolü scatterplot üzerinde yapın: doğrunun üstünde ve altında kalan noktalar x boyunca karışık mı sıralanıyor, yoksa bloklar hâlinde mi? Noktalar uçlarda hep doğrunun üstünde, ortada hep altında kalıyorsa (ya da tersi) veri eğriseldir.

Yukarıdaki iki doğrunun da artık toplamı sıfırdır; en küçük kareler doğrusunda bu hep böyledir, bu yüzden toplam model seçiminde bir şey söylemez, bakılacak şey işaretlerin sırasıdır. Nedeni en iyi uyum doğrusu sayfasında anlatılıyor.

Artık grafiğini okurken dört tuzak

• Artık grafiğini scatterplot'la karıştırmak: Scatterplot x ile y arasındaki ilişkiyi, artık grafiği ise modelin hatasını x'e karşı gösterir. Scatterplot'ta noktalar neredeyse düz görünse bile artık grafiğindeki kavis doğrusal modelin yetersiz olduğunu gösterebilir. İki grafiği ayrı ayrı okuyun.
• Sıfır artığı "mükemmel model" sanmak: Bir noktanın artığının sıfır olması yalnızca o noktanın doğrunun tam üzerinde olduğunu söyler. Tek bir sıfır artık tüm modelin iyi olduğunu kanıtlamaz; tüm artıkların dağılımına bakın.
• Dikey eksenin ölçeğini atlamak: Dikey eksen artıklara göre geniş bir aralıkta ölçeklenmişse (örneğin artıklar birkaç birimken eksen −50 ile +50 arasındaysa) noktalar sıfır çizgisine yapışık görünür ve kalıp gözden kaçabilir. Eksen aralıklarını kontrol edin; küçük görünen bir kalıp önemli olabilir.
• Eksen etiketini tanımamak: Artık grafiğinin dikey ekseni "artık" yerine "gerçek değer − tahmin edilen değer" gibi bir ifadeyle etiketlenmiş olabilir. İkisi aynı şeydir.

r ve r² model türünü seçmez

Korelasyon katsayısı r yalnızca doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü ölçer. Kuadratik bir dağılım için r düşük çıkabilir, ama bu değişkenler arasında ilişki olmadığı anlamına gelmez: tepesi grafiğin ortasında olan parabolik bir ilişkide r 0'a yakın olabilir, oysa ilişki son derece güçlüdür. Parabolik bir scatterplot'ta düşük r'yi "ilişki yok" diye okumak bir yorum hatasıdır.

Ters yönde de dikkat gerekir. Yüksek bir r ya da r², doğrusal modelin doğru seçim olduğunu kanıtlamaz. Veri gerçekte kuadratik olsa bile doğrusal regresyon, incelenen aralıkta yüksek uyum gösterebilir. Araba verisine uydurulan ŷ = 15x − 5 doğrusunun r değeri yaklaşık 0,96'dır; doğru, y'deki değişkenliğin yaklaşık %92'sini açıklar. Yine de artıklar + − − + kalıbı çizer. "r = 0,95, öyleyse ilişki üsteldir" gibi bir çıkarım da yanlıştır: r doğrusal korelasyon katsayısıdır ve model ailesini söylemez. Model türünü şekil, tablo testi ve artık grafiği belirler; r ve r²'nin nasıl yorumlandığı en iyi uyum doğrusu sayfasında anlatılıyor.

Model seçildikten sonra: tahmin, veri aralığı ve nedensellik

Model seçildikten sonraki sorular başka sayfaların konusu. Seçilen doğrusal modelle belirli bir x için tahmin yapmak, tek bir noktanın artığını hesaplamak, aykırı değerlerin doğruya etkisi ve veri aralığının dışında tahmin en iyi uyum doğrusu sayfasında ele alınıyor. Oradaki temel kural şu: soru modelin tahminini istiyorsa, x veri aralığının dışında olsa bile değer denklemden hesaplanır; aralık dışı uyarısı yalnızca tahminin güvenilirliği sorulduğunda cevabı değiştirir. Güçlü bir ilişkinin neden-sonuç anlamına gelip gelmediği ise ayrı bir sorudur: gözlemsel veride korelasyon nedenselliği kanıtlamaz, rastgele atamalı bir deney ise nedensellik çıkarımına izin verir. Ayrıntısı korelasyon ve nedensellik sayfasında.

Model seçimi için kısa kontrol listesi

1. Eksenleri ve x adımını okuyun: x değerleri eşit aralıklı mı?
2. Tablo varsa farkları ve oranları hesaplayın: fark sabitse doğrusal, oran sabitse üstel, ikinci fark sabitse (en az dört değerle) kuadratik. x adımları eşit değilse eğimi birim başına hesaplayın, oranı adım uzunluğuna göre değerlendirin (k birimlik adımda b^k) ya da yalnızca eşit aralıklı değerleri karşılaştırın. Ölçülmüş veride sabite en yakın olanı seçin.
3. Grafik varsa tamamına bakın: düz bir bant mı, tepesi ya da çukuru olan bir U mu, yoksa geri dönmeyen bir eğri (dikleşerek yükselen bir J ya da yataya yaklaşan bir düşüş) mü? Tepe ya da çukur görünmüyorsa üstel ile kuadratiği tablo testi, tablo yoksa grafikten eşit adımlarla okunan değerler ya da bağlam ayırır.
4. Bağlam cümlesini okuyun: "her yıl aynı miktar" ya da "her yıl başlangıç değerinin %kaçı kadar" doğrusal; "her yıl bir önceki değerin %kaçı kadar" ya da "her saat iki katına çıkıyor" gibi eşit adımlarda aynı sayıyla çarpılma üstel; y'nin bir en yüksek (ya da en düşük) değere ulaşıp sonra ters yöne dönmesi kuadratik bir modele işaret eder.
5. Artık grafiği verilmişse kalıbı okuyun: rastgele bant doğrusal modeli onaylar, eğrisel kalıp doğrusal modeli eler.
6. Şıkları aileye göre eledikten sonra parametreyi kontrol edin: doğrusalda eğim birim başına değişimdir, üstelde a başlangıç değeri ve b çarpandır.

Sıkça Sorulan Sorular